今日のおじさん、なに食べました? (仮)

妻の料理と、おじさんの毎日の記録です。ほんのり工学テイスト。

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鉄琴の周波数の実測FFT・調律はエンドミルで~スズキ・ミニグロッケンMSG-13
【今日の夕食】
 今日もヨシケイのフリー食材ですが、メニューを食材添付のものと変えてみました。
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OLYMPUS E-PL6+LG25mmF1.7;EFL.50mm、F2.8、SS1/160、ISO1000;EV+0.7

★米飯

★鶏皮スープ

★鶏の卵漬け揚げ焼き、長ねぎソース
 ヨシケイではなく、料理本のメニューです。台湾風らしいです。

★春雨炒め、じゃがいも煮(昨晩の残り)

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【今日のおじさん】鉄琴の周波数の実測FFT・調律はエンドミルで~スズキ・ミニグロッケンMSG-13
 今回は、鍵盤が外せるタイプの鉄琴「ミニグロッケン」の、周波数の調査・測定結果について書きます。


★鍵盤が外せる!「ミニグロッケン」
 子供(5歳娘、2歳息子)用に、鉄琴を買いました。鈴木楽器の「ミニグロッケン・MSG-13」です[1]。(この楽器の検討経緯は、→こちらの記事。いろいろな「単音で鳴らせる楽器」を検討しました。)
[1]鈴木楽器製作所:製品情報-木琴・鉄琴-卓上木琴・グロッケン
https://www.suzuki-music.co.jp/products/23790/
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 この商品の特徴として、鍵盤を外すことができます。 いわゆる「ペンタトニック」(レミソラシ、ドミファソシなど)の鍵盤として使うことが可能です。
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 また、予備の鍵盤として、F#(2個)、B♭が付属していますので、ヘ長調・ト長調の鍵盤に組み換えもできます。
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★鍵盤の周波数を実測する
 この鍵盤は、スチール製のようです。「C(ハ)」音の鍵盤の裏を見ると、「A=442Hz」と書かれています。これは、「A(イ)」音を基準に調律し、その基準を442Hzにとっている、という意味でしょうか。
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 付属する16個の鍵盤を、長さ順(=音の低い順)に並べてみました。いずれの鍵盤のとも、裏面に、円状の加工跡(エンドミルによる切削跡と思われる)が付いています。これは、音階を細かく調整するためのものと推察されます。
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 調律の正確さの確認のために、実際の周波数を調べてみました。A音を鳴らします。


 2つある「A」のうち、低い方を調べることにしました。下は、録音したwavファイルをエクセルでグラフ化したものです。3回の打音が記録されています。
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 一部を切出して、拡大したものです。9回/5ms程度の振動が確認できます。
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 正確な周波数を知るために、FFT(Fast descrete Fourier Transform;高速離散フーリエ変換)を実行しました。このマクロは、別の記事で当方が作成したものです(→こちら)。明瞭なピークが、1765Hzに確認できました。
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 なお、今回のFFTの計算条件は、以下の通りです。周波数分解能=1.46Hzとなります。
 ・サンプル点数=32768点
 ・サンプル周波数=48kHz
 ・窓関数=ハミング(Hamming)窓

 442Hzを基準とするA音は、オクターブ違いで、442Hz、884Hz、1768Hz、…となります。つまり、正しく調律された音=1768Hzに対して、今回の実測周波数=1765Hzでした。その差は0.2%以下。かなり正確に、調律されていると言えます。



★鍵盤の固有周波数を計算で確認
 鉄琴は、板材の「固有周波数」で、音が鳴ります。そこで、固有周波数の計算値を求めてみることにしました。「A(イ)」音の、長いほう(音が低いほう)の寸法を測定しました。測定結果は、以下の通りでした。
・幅 :b=19.1mm
・厚さ:h= 2.1mm
・長さ:L=76.9mm
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 板材の固有振動数f[Hz]は、次式1で計算できます[2](この式を公園の鉄琴パイプに適用した事例は、→こちらも参照)。
[2]日本機械学会宇宙工学部門;構造振動学
http://www.jsme.or.jp/sed/guide/dynamics5.pdf
  20160915e01.jpg  <式1>
 ここで、記号は以下の通りです。単位がメートルになるので、注意してください。
 ・λ:境界条件で決まる係数。両端自由のとき、λ=4.73
 ・L:板材の長さ[m]
 ・E:板材のヤング率[N/m^2]
 ・A:板材の断面積[m^2]
 ・ρ:板材の密度[kg/m^3]

 また、I[m^4]は断面2次モーメントです。今回の鉄琴のような、幅b[m]×厚さh[m]の矩形断面の場合、次式2で計算できます。
  20160915e02.jpg  <式2>

 今回の鉄琴では、各値は、以下の通りとなります。
 ・幅b=19.1mm
 ・厚さh=2.1mm
 ・長さL=76.9mm=0.0769m
 ・断面2次モーメントI=14.74mm^4=1.474×10^-11 m^4
 ・断面積A=40.11mm^2=4.011×10^-5 m^2
 ・ヤング率E=210GPa=2.1×10^11 N/m2
 ・密度ρ=7.8g/cm^3=7800kg/m3
 ・係数λ=4.73

 以上の数値を用いて計算すると、以下を得ます。有効数字は3桁としました。
 ・固有周波数f=1894[Hz]≒1890[Hz]

 この計算値1890Hzに対して、上述の音の実測値は、1765Hzでした。約7%のズレで、よく一致していると言えます。

 上の計算値は、鍵盤が単純な板形状の場合です。実際の鍵盤では、裏面をエンドミル加工して、調律がされています。つまり、鍵盤の厚さが、(平均値で見て)薄くなっていると考えられます。
 ここで、式1と式2から、次式3が導かれます。
  20160915e03.jpg  <式3>

 式3から、鍵盤の厚みhを薄くするほど、周波数が小さくなる(音が低くなる)ことが分かります。すなわち、鍵盤を除去加工することで、鍵盤厚さを(平均値として)薄くして、音を低くするように調律できるのです。今回の場合、鍵盤の元の肉の厚さh=2.1mmですが、1.96mmとすれば、f≒1765Hzとできます。全体の厚さを加工するのは大変ですから、部分的にエンドミルで加工して、調律する、というわけです。


★まとめ:鉄琴の調律は裏面の除去加工で
 鈴木楽器の「ミニグロッケン」の、周波数を調べました。以下の結果を得ました。
・A音(低い方)の周波数の実測値は1765Hzだった。これは、正確な値1768Hzに対し、0.2%以下の誤差だった。
・鍵盤の寸法から計算される固有周波数は、1890Hzだった。これは、実測値1765Hzよりも高い。
・鍵盤の裏面には、エンドミルによる円形の加工跡があった。この除去加工によって、調律が行われている。


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