今日のおじさん、なに食べました? (仮)

妻の料理と、おじさんの毎日の記録です。ほんのり工学テイスト。

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公園の遊具の鉄琴の音階~FFTで周波数解析
【今日の夕食】
 今日は、妻は娘(1歳7ヶ月)を連れて、ベビースイミングに行ったそうです。ベビースイミングは、初めてです。前半は抱っこ、後半は浮き輪を付けたそうです。最初は怖がって妻にしがみついていた娘ですが、最後のほうには、少しだけリラックスできたようです。
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★米飯

★みそ汁、わかめ・えのき

★鶏キャベツ味噌炒め煮
 珍しく、味噌味です。ショウガが効いています。ちょうど良い味付けで、ご飯が進みました。

★4点盛りプレート「のりは娘も食べました」
・冷奴
・ひじき大豆煮
・チンゲン菜ニンニク炒め
・のり

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【今日のおじさん】 公園の遊具の鉄琴の音階~FFTで周波数解析
 先日、妻と娘(1歳7ヶ月)と、近所の「引地川公園」に行きました。川原に沿って整備された公園です。ここには、大きな遊具があります。
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★公園の遊具の「鉄琴」で遊ぶ
 この遊具は、アスレチックのようになっています。最近の娘は、登ったり降りたり、上手に遊べるようになってきました。
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 娘に負けじと、私も遊ぶことにしました。目をつけたのは、こちらの「鉄琴」ふうの遊具です。アルミのパイプで作られているようです。
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 早速、鳴らしてみました。うまく演奏できるかしら。手で小刻みに揺すると、音が出やすいようです。

 棒が8本あるので、ドレミファソラシドだと思ったのですが、違うように聞こえます。うまく演奏するためには、それぞれの棒の音階を把握する必要があります。


★FFTで周波数解析してみる
 そこで、FFT(Fast Fourier Transform;高速フーリエ変換)で周波数を調べてみることにしました。以前の「ミミクリーペット」のとき(こちらの記事)と同様に、自作のFFTツールを使います(このツールの詳しい内容は、こちら)。

 まずは、上のビデオの音声を読み込みます。下図が、音の波形です。横軸が時間、縦軸が音の強さ。8本の棒に対応して、8個の音のブロック①~⑧が見えます。
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 それぞれの音のブロックを切り出します。下は、①の部分。波形がギザギザとしたノコギリ波状になっていますが、これは手で小刻みに振動させているためです。振動は毎秒5往復くらいなので、毎秒10回(100ms周期)くらいのギザギザになっています。
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 FFTをした結果がこちらです。以下の条件です。
 ・サンプリング周波数=11kHz(22kHzで録音後、FFTツールで間引き)
 ・サンプリング点数 =8192点
 ・サンプリング長さ =0.74s
 ・周波数分解能   =1.3Hz
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 上図の赤矢印のところが、最も高いピークです。約2050Hzです。ミミクリーペットのときに使ったハーモニカのAの音が440Hz、2オクターブ上のAが1760Hzです。そうすると、2050Hzは、かなり高い音に感じます。聞こえているのが本当にこの音なのか、確信が持てません。しかし、これより低い周波数では顕著なピークはありません。そこで、この周波数(2050Hz)付近のピークを調べることにします。

 同様に、2本目。ピークは約2150Hz。1本目よりも、やや高くなっています。
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 同じように、3本目以降もピークを調べました。少し問題がありそうなのが、8本目。下のFFT結果です。最も高いピークは2790Hzです。しかし、3160Hzにもピークが見えます。
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★棒の長さと周波数の関係
 以上の結果から、棒の長さと周波数の関係をまとめてみます。棒の長さは、下の写真から求めました。最も長い棒を基準(=1とする)にして、各棒の長さを測定しました。
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 棒の長さと周波数の関係は、下図となりました。周波数f[Hz]は、棒の長さLの2乗に反比例します。ピークが2箇所あった8本目の棒は、どうやら3160Hzのピークがもっともらしい。(しかし、動画の音を聞き比べると、8本目は7本目よりも、音が低く感じます。)
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 上の結果は、棒の固有振動数が、棒の長さの2乗に反比例するという理屈[1]と一致します。棒が短いほど、固有振動数は高くなり、音も高くなります。
[1]畑村編;続・実際の設計、p.73、日刊工業新聞社、(1992)


★鉄琴の音階は
 楽器として使うためには、音階を調べなければなりません。そこで、1本目の棒を「ド」として、各棒の音階がどうなっているかを調べました。上図の結果から「ド」=2050Hzとします。1オクターブ上がると、周波数は2倍の4100Hzです。半音上がるごとに、周波数は2^(1/12)倍だけ上がります。したがって、ド・ド#・レ・レ#…に対応する周波数は、下図のようになります。
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 上図には、鉄琴の各棒の周波数も、○印で併記しました。左から1本目、2本目、…です。これを見ると、鉄琴の音は、ほぼ半音刻みになっているようです。つまり、長い棒から順に、ド・ド#・レ・レ#…、となっています。ただ、棒によっては周波数が隣と大差なかったり、逆転したりしています。上手に演奏するのは、なかなか難しそうです。


★まとめ:公園の遊具の鉄琴
 公園の遊具の鉄琴について、FFTを用いて周波数を調べました。その結果、次が分かりました。
 ・音の周波数は、ほぼ棒の長さの2乗に反比例していた。
 ・この鉄琴の音階は、半音刻み(ド・ド#・レ・レ#・ミ・ファ・ファ#・ソ)だった。
 この鉄琴の音階の範囲は1オクターブなく、音程もあまり正確でないため、演奏できる曲目は限られそうです。
 

(追記)2015/5/29
 以下サイト[1]を参考に、周波数の理論計算を試みました。「梁(はり)の固有振動数」というものです。
 
[1]日本機械学会宇宙工学部門;構造振動学
http://www.jsme.or.jp/sed/guide/dynamics5.pdf

 固有振動数は、はりの支持状態(拘束条件、境界条件)によって変化します。今回は、「両端自由」の条件を用いることにしました。また、はりの振動モード(振動のしかた)は1次、2次、…と複数ありますが、今回は「1次モード(もっとも単純な振動のしかた)」の固有振動数を計算します。

 はりの「たわみ」による固有振動数(固有周波数)f[Hz]は、次式で計算できます。

 f=(λ/2πL)^2 × √{(EI)/(ρA)}

 ここで、記号は以下の通りです。
 ・λ:拘束条件で決まる定数 両端自由ではλ=4.73
 ・L:はりの全長[m]
 ・E:はり材料のヤング率[N/m^2]
 ・ρ:はり材料の密度[kg/m^3]
 ・I:はりの断面二次モーメント[m^4]
 ・A:はりの断面積[m^2]

 円形パイプの場合、「断面二次モーメント」は、次式で計算できます。
  I=(π/64) × (do^4 - di^4)

 ここで、
 ・do:パイプの外形の直径[m]
 ・di:パイプの穴の直径[m]

 公園の「鉄琴」の数字は、以下のようになります。寸法はおおむねの値(記憶による)です。単位に注意が必要です。
・λ=4.73
・L=0.3m
・E=70GPa=7×10^10 N/m^2 (アルミ)
・ρ=2.7g/cm^3=2700kg/m^3  (アルミ)
・I=(π/64) × (30mm^4 - 29mm^4)=5040mm^4
  =5.04×10^-9 m^4
・A=(π/4) × (30mm^2 - 29mm^2)=46.3mm^2
  =4.63×10^-5 m^2

 これらから、固有周波数f[Hz]を計算すると、以下となります。
 f=(λ/2πL)^2 × √{(EI)/(ρA)} =2100Hz

 実際の音の周波数は、2000~3000Hzでした。目見当の数字を使った割には、「驚くほど良い一致」と言えそうです。

 以上のように、「はりの固有振動数」の理論によって、鉄琴の実際の振動数(音の特徴的な周波数)を、良い精度で予測できることが分かりました。美しいですね。


(追記2)2015/5/29
 ここまで書いたところで、この鉄琴は「アルミ」でなく「鋼材」のパイプではないか、という疑念がわきました。

 そこで、鋼材について検討します。以下が、異なる値になります。
・E=210GPa=21×10^10 N/m^2 (鋼材)
・ρ=7.8g/cm^3=7800kg/m^3  (鋼材)
 
 計算結果は、f=2130Hz となります。

 鋼材の場合、アルミに対してヤング率Eが3倍、密度ρも3倍です。このため、材質がアルミ→鋼材に変わっても、固有周波数はほとんど変わりません。(E/ρが一定なので。)

 結局、アルミだったのか、鋼材だったのか。今度見たときに、確かめたいと思います。


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