今日のおじさん、なに食べました? (仮)

妻の料理と、おじさんの毎日の記録です。ほんのり工学テイスト。

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レンズ実験その2~レンズに入る光と出る光の関係式
【今日の夕食】
 今日は、妻は料理をお休みです。近所の吉野家まで、妻と娘(2歳4ヶ月)と3人で食べに行きました。家族連れでの吉野家は初めてでしたが、テーブル席があり、子供用のイスもあり、食べやすかったです。(注文のときは見逃しましたが、お子様セットもありました。)
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★牛丼大盛り、サラダ・けんちん汁セット
 娘と分けて食べました。見た目よりも米の量が多く、おなかいっぱいになりました。

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【今日のおじさん】 レンズ実験その2~レンズに入る光と出る光の関係式
 カメラとレンズの勉強のために、虫メガネを使った実験を計画しています。前回は、虫メガネのレンズの曲率半径を測定しました(→こちらの記事)。


★レンズの基礎式を導く
 実験に先立って、レンズの基礎的な関係式を導いておきたいと思います。
 簡単のために、下図1のような円筒面レンズを考えます。レンズは、紙面の垂直方向には、同一の形状をしているとします(球面レンズではありません)。レンズの中心から高さx[mm]の位置に、角度θ1[rad]の方向から、光が入る場合を考えます。レンズを通った光は、角度θ2[rad]に向きを変えます。
<図1>
20130614z1.jpg
 ここで、R1、R2:レンズの左面・右面の曲率半径[mm]

 光は、レンズに入るときと、レンズから出るときに、屈折します。まず、レンズに入るときを考えます(図2)。角度は、すべて図2の方向を正とします。
<図2>
20130614z2.jpg
 ここで、
 ・α1     :レンズの傾斜角[rad]
 ・φin1、φout1:入射角[rad]、屈折角[rad]
 ・θ1、θm   :入射光と屈折光のz軸となす角[rad]

 レンズから出るときは、図3です。角度は、すべて図3の方向を正とします。
<図3>
20130614z3.jpg
 ここで、
 ・α2     :レンズの傾斜角[rad]
 ・φin2、φout2:入射角[rad]、屈折角[rad]
 ・θm、θ2   :入射光と屈折光のz軸となす角[rad]


★入射角と屈折角
 以下を仮定して、レンズに入る角度θ1と、出る角度θ2の関係を導きます。
 ・レンズへの入射角、屈折角、レンズの傾斜角など <<1[rad](≒57°)
 ・レンズの高さxmax << レンズの曲率半径R
 ・レンズの厚さは無視できるほど薄い

 まず、レンズに光が入る側について。入射角と屈折角は、次式1となります。
20130614s1.jpg <式1>
 入射角と屈折角は、屈折率で関連付けられます。ここで、nm、naは、レンズおよび空気の屈折率(絶対屈折率)です。na≒1です。また、φin1,φin2は小さいという仮定から、sinφ≒φが成り立ちます。
20130614s2.jpg <式2>
 式1~2から、次式が得られます。
20130614s3.jpg <式3>

 次に、レンズから光が出る側について。入射角と屈折角は、次式となります。
20130614s4.jpg <式4>
 屈折の式は、次の通りです。ここでも、角度が小さい仮定から、近似を使っています。
20130614s5.jpg <式5>
 式4~式5から、次式が得られます。
20130614s6.jpg <式6>

 式3と式6を合わせると、レンズに入る角度θ1と、出る角度θ2の関係が、次のように導けます。
20130614s7.jpg <式7>


★レンズの傾斜角
 次に、レンズの傾斜角αを導きます。

 まず、光が入る側です。図4のように、レンズ中心から距離x[mm]における、傾斜角α1[rad]とします。
<図4>
20130614z4.jpg
 xにおけるレンズの落ち量z1[mm]は次式となります。ここで、レンズ高さxmax<<レンズ曲率半径R1 の仮定から、微少量dに対する (1-d)^n≒1-nd の近似を用いています。
20130614s41.jpg <式8>
 同様に、光が出る側のレンズの落ち量z2[mm]は、次式です。
20130614s42.jpg <式9>
 レンズの厚さが十分薄いので、レンズに入る位置と、レンズから出る位置で、x座標は同じであるとみなせます。そうすると、レンズの傾斜角は、共通のxを用いて、次のように表せます。
20130614s8.jpg <式10>
 傾斜角αを用いると、式7は次のように書き換えられます。
20130614s9.jpg <式11>
 さらに、1/R1+1/R2=2/R とおけば、次式が得られます。(R1=R2=Rの場合も、同じ式になる。)
20130614s10.jpg <式12>


★投影機の原理
 ここまで導いてきた関係式を元に、レンズに入った光がどうなるか、検討してみます。下図5のように、距離L1[mm],高さh1[mm]から角度θ1[rad]で光が出ます。この光は、距離L2[mm]、高さh2[mm]の点に、角度θ2[rad]で向かいます。
<図5>
20130614z5.jpg
 幾何学的な関係から、次式が成り立ちます。
20130614s31.jpg <式13>
20130614s32.jpg <式14>
 レンズに入る角度θ1と出る角度θ2は、式12の関係にあります。よって、次式が成り立ちます。
20130614s33.jpg <式15>
 式を変形すると、次のようになります。
20130614s34.jpg <式16>
 ここで、次式が成り立つようなL1、L2の組を考えます。
20130614s26.jpg <式17>
 この式17のL1,L2の組を使うと、式16のθ1の項が消去されます。そして、次式18を導くことができます。
20130614s43.jpg <式18>

 式18を図示すると、下図6のようになります。L1の位置に光源を置くとします。光源からは、いろいろな方向の光(ピンク色で図示)が出ますが、全て距離L2、高さh2の1点に、光が集まります。式18には、θ1の項が入っていないためです。ここで、L2は、式17で決まる距離です。
<図6>
20130614z6.jpg
 また、図6では、レンズの左の高さh1の範囲(黄色で表示)が、レンズの右では、高さh2の範囲に拡大されています。したがって、L1の位置にフィルムを置いて照らし、L2の位置を壁面とすれば、投影機になります。


 以上の式にしたがって、投影の実験をすることにしました。
20130611z3.jpg


 続きます。


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