今日のおじさん、なに食べました? (仮)

妻の料理と、おじさんの毎日の記録です。ほんのり工学テイスト。

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レンズ実験その4~カメラのボケやすさを決めるもの
【今日の夕食】
 今日は、江ノ島近くで行われた地引網イベントに参加しました。お土産に、魚をたくさんもらって帰りました。小いわし、小かます、小鯖、よく分からない白身魚、などでした。
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★米飯

★いわしの梅煮
 地引網の土産のほとんどが、小いわしでした。圧力鍋で調理したものです。骨まで食べられます。

★いろいろ小魚を焼いたもの
 地引網の土産。鯖、かれい?、白身魚、を開いて、塩水に漬けた後、焼いたものです。骨が多く、食べるところは少ないですが、白身魚は淡白な味わいで、おいしかったです。

★いんげん

★厚揚げ


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【今日のおじさん】 レンズ実験その4~カメラのボケやすさを決めるもの
 レンズの実験で遊んでいます。前回まで、虫メガネと懐中電灯を使って、投影機(またはカメラ)を作ってみました(→こちらの記事)。
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★ピントが合う、合わないの違い
 この装置を模式的に表したのが、下図1です。
<図1>
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 前回まで、壁面の像のピントが合う場合について、考えてきました。懐中電灯からレンズの距離L1と、レンズから壁面の距離L2が、次の関係式1を満たす場合に、ピントが合います。
20130614s26.jpg <式1>
 ピントが合っている状態の壁面の像を、下図2に示します。懐中電灯に書かれた「マ」の字が、くっきりと投影されています。また、円形の輪郭も、はっきりと見えます。
<図2>
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 一方、ピントが合っていない場合は、下図3です。「マ」の字は、ぼやけて見えなくなってしまいます。また、円形の輪郭もぼんやりとして、影の部分との境界が曖昧になっています。
<図3>
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 今回は、ピントが合わない場合のボケの程度について、定量的に調べてみます。これを調べておくと、例えば、カメラでの撮影時のボケ加減について、何らかの知見が得られるかもしれません。


★ピントが合わないとボケる理由
 ピントが合うときには、下図4のように、懐中電灯上の1点(左の赤点)は、壁面上の1点(右の赤点)として投影されます。
<図4>
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 ピントが合う位置から、懐中電灯をレンズに近づけた場合を考えます。下図5では、レンズから懐中電灯の距離C1<ピントの合う距離L1となっています。この場合、懐中電灯上の1点は、壁面よりも奥の位置で像を結ぼうとします。このため、壁面(位置L2)においては、像は1点とならず、幅Wを持ちます。このため、1点に集まる場合と比べて、像の明るさは暗くなります(光源の明るさは同じだが、投影面積が広くなるために、単位面積あたりの明るさが低下する)。そして、幅Wは、レンズの直径Dが大きいほど、大きくなることが分かります。
<図5>
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 逆に、懐中電灯をレンズから遠ざけた場合です。下図6のように、レンズから懐中電灯の距離C1>ピントの合う距離L1です。この場合、像を結ぶ位置が、壁面よりも手前になります。壁面に投影される像は、やはり1点とならず、幅Wを持ちます。このため、像の明るさは暗くなります。また、図5と同様に、レンズ直径Dが大きいほど、幅Wは大きくなります。
<図6>
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 以上のように、懐中電灯の位置がL1より大きくても小さくても、壁面の像は1点に集まらなくなります。このため、像の幅が広くなって位置が定まらず、かつ、像の明るさが暗くなってしまいます。すなわち、ピントが合わないと、像にボケが生じます。


★ピントが合わないときの像の大きさ
 ピントが合わない場合の像の大きさを、定量的に考えてみます。図5や図6を用いて幾何学的に考えてもよいのですが、ここでは、以前の記事(→こちら)で導いたレンズの基本式、以下の式2からスタートします。
20130622s01.jpg <式2>
 ここで、
 ・L1:ピントが合うときの、レンズから懐中電灯の距離[mm]
 ・L2:レンズから壁面の距離[mm]
 ・θ1、θ2:レンズに入る光の角度、出る光の角度[rad]
 ・x:レンズに光が入る位置[mm]
 ・f:焦点距離[mm]
 ・R:レンズの曲率半径[mm]
 ・nm:レンズの相対屈折率(空気に対して)

 幾何学的な関係から、次式3が成り立ちます。
20130622s02.jpg <式3>
 ここで、
 ・C1:レンズから懐中電灯の実際の距離[mm]
 ・h1:注目する光源の高さ位置[mm]
 ・h2:投影される像の高さ位置[mm]

 式2と式3から、次式4を得ます。
20130622s03.jpg <式4>
 レンズの直径をD[mm]とすると、光の入る位置x[mm]の範囲は、±D/2の範囲に規制されます。すなわち、
20130622s04.jpg <式5>
 式4と式5から、投影される(ぼやけた)像の形成される範囲は、次式6となります。複合のどちらがmax、どちらがminになるかは、カッコ内の正負によります。
20130622s05.jpg <式6>
 式6は、式2を使うと、次のようにも書けます。
20130622s06.jpg <式7>
 C1<L1のとき(図5)には、式7のカッコ内は正になります。よって、複合のプラスがh2maxとなります。一方、C1>L1のとき(図6)にはカッコ内は負になり、複合のマイナスがh2maxとなります。
 像の幅Wは、次式8で計算できます。
20130622s07.jpg <式8>


★懐中電灯の像の直径
 懐中電灯と虫メガネを使った投影機では、ピントが合わない場合、下図7のような像が得られます。この図では、レンズから懐中電灯の距離C1<ピントが合う距離L1の場合について、示しています。
<図7>
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 懐中電灯の直径d1[mm]とします。すると、壁面の像の直径d2’[mm]は、式7でh1=-d1/2としたときの、h2maxの2倍になります。すなわち、
20130622s08.jpg <式9>
 ここで、Wとd2は、次式で表されます。d2は、懐中電灯からレンズの距離で決まる、像の直径です。そしてWが、ボケによる直径の増加です。
20130622s09.jpg <式10>


★ピントが合わない投影機の実験
 最後に、式9を、実験で検証してみます。図1と同様のセットアップを用いました。
 レンズから壁面の距離L2=700mmで一定としました。このL2に対して、レンズから懐中電灯の距離L1=400mmで、ピントが合うことが分かっています。
 レンズから懐中電灯の距離C1を、次の3種類に変えて、壁面の像の直径を測定しました(測定器:定規)。
 a)C1=400mm (ピントが合う)
 b)C1=300mm
 c)C1=500mm
 懐中電灯の直径d1=25[mm]です。

 まず、ピントが合っている場合(C1=400mm)の像です。円形部分の直径は、d2'=45mmでした(定規で測定)。
<図8>
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 次に、懐中電灯をレンズに近づけて、C1=300mmとします。像は、下のようになります。ピントが合っている場合に比べて、直径がかなり増します。輪郭のぼやけが著しいです。円形の縁を識別するのが困難ですが、直径d2'=82mmと読み取りました。
<図9>
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 最後に、懐中電灯をレンズから遠ざけて、C1=500mmとしました。このときの像は、下の写真のようになりました。やはり、像は輪郭がぼやけています。円形部分の直径は、d2'=63mmでした。
<図10>
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 図9と図10を比べると、ピントが合う位置からの移動量は、100mmで同じです。しかし、懐中電灯をレンズに近づけた場合のほうが、遠ざけた場合よりも、ボケの程度が増しています。


 実験結果と式9による計算結果の比較です。横軸はレンズから懐中電灯の距離C1、縦軸は像の直径d2'です。計算値は、ボケを含まない直径d2と、ボケを含む直径d2'の両方を示しました。測定値は、ボケを含むd2'のみです。
<図11>
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 C1=300mmで、実測値が計算値よりやや小さくなっています。しかし、おおむねの傾向は、よく一致しています。C1=300mmでは、像のボケがかなり顕著だったので、円形の縁を識別するのが困難でした。このために、直径を小さめに読み取ってしまったのかもしれません。


★まとめ
 投影機またはカメラにおいて、ピントが合わない場合の「ボケ」の程度を検討しました。以下のことが分かりました。
 ・ボケは、レンズの直径が大きいほど、大きくなる。
 ・ボケは、ピントの合う位置からのズレが大きいほど、大きくなる。
 ・ピントが合う位置からのズレが同じ場合、光源がレンズに近い側にズレたほうが、ボケが大きい。



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