今日のおじさん、なに食べました? (仮)

妻の料理と、おじさんの毎日の記録です。ほんのり工学テイスト。

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レンズ実験その5~F値が小さいほど明るい理由
【今日の夕食】
 今日は、外食です。戸塚駅「トツカーナモール」の「菊屋食堂」[1]のカレーライスです。
[1]東横グループ;菊屋食堂
http://www.toyoko.jp/shop_16.html
r20130628.jpg
★ビーフカレー(小)、鶏唐揚げ
 辛さは普通を注文しました。カレー500円+唐揚げ200円。塊の牛肉が、思ったよりもたくさん入っていました。野菜をトッピングするべきだったかもしれません。辛さは、私にはかなり辛く感じました。口の中がヒリヒリです。しかし、玉ねぎの甘味もあって、よい味でした。次回は、甘口にしたいと思います。

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【今日のおじさん】 レンズ実験その5~F値が小さいほど明るい理由
 4月に新しいカメラ(オリンパスTG-630、防水コンデジ)を買ってから、レンズに興味を持つようになりました。少し前から、いくつかのレンズ実験を記事にしています。
 ・虫メガネの曲率半径を測る    →こちら
 ・レンズに入る光と出る光の関係  →こちら
 ・虫メガネ&懐中電灯で投影機遊び →こちら
 ・カメラのボケやすさを決めるもの →こちら

 今回は、レンズの代表的なスペックである「F値」について書きます。


★F値とは
 F値は、焦点距離f[mm]とレンズ直径D[mm]の比で定義されます。すなわち、F値 Fは、次式で定義されます。
20130627s9.jpg
 Wikipedia「F値」によると、F値は、レンズの明るさを示す指標として使われることが多いそうです。なぜF値が明るさを示すかについては、Wikipediaでは、次のように説明されています。
「レンズが結ぶ像の面積は焦点距離の2乗に比例して拡大する。一方レンズの有効口径が変わらなければ、レンズに入射する光の量は一定である。したがって、像の面積あたりの光量は焦点距離の二乗に反比例する。」

 文字だけで書かれているせいか、分かったような、分からないような説明です。以下、「数式になじみのある方々」にも分かりやすいように、数式を使って考えてみることにします。


★F値と明るさの関係式
 下図1のように、光源(被写体)、レンズ、投影面(フィルム)で構成されるセットアップを考えます。光源の直径をd1[mm]とします。レンズから光源までの距離をL1[mm]、レンズから投影面までの距離をL2[mm]とします。投影面には、直径d2[mm]の像が投影されます。(このセットアップは、以前行ったレンズ実験(→こちら)と同じ構成です。)
<図1>
20130627z2.jpg
 下図2のように、光源からは、全方向に球面状に、一様に光が放出されるとします。
<図2>
20130627z1.jpg
 レンズの位置は、光源から距離L1[mm]です。この位置における光の強さ(明るさ)q1[W/mm^2]は、次式1で表せます。
20130627s1.jpg <式1>
 ここで、S :半径L1[mm]の球面の表面積[mm^2]
     Q0:光源の光量(出力、エネルギ)[W]

 直径D[mm]のレンズの表面積[mm^2]は、π(D/2)^2です。したがって、レンズを通過する光量(エネルギ)Q1[W]は、次式2となります。
20130627s2.jpg <式2>※訂正あり。補足参照

 レンズの基本式として、次の式3と式4があります(詳しくは、→こちらの記事)。まず、次式3は、光源の直径d1[mm]と、投影される像の直径d2[mm]の関係式です。
20130627s3.jpg <式3>
 また、次式4は、ピントが合う場合の、レンズから光源の距離L1[mm]とレンズから投影面の距離L2[mm]の関係です。ここでf[mm]は、焦点距離です。焦点距離は、L1→∞としたときのL2です。
20130627s4.jpg <式4>
 投影面における光の強さ(明るさ)q2[W/mm^2]は、投影面に到達するエネルギ密度です。すなわち、レンズを通過する光量を、投影される像の面積で割れば、光の強さq2が得られます。投影される像の面積はπ(d2/2)^2なので、光の強さq2は、次式5となります。
20130627s5.jpg <式5>※訂正あり。補足参照
 また、式4から、次式が成り立ちます。
20130627s6.jpg <式6>
 式5と式6から、次式7を得ます。ここで、焦点距離fに比べて、レンズから光源の距離L1が大きいと仮定します。すなわち、f/L1<<1とします。そうすると、微少量xに対する近似式 (1-x)^n≒1-nx が使えます。
20130627s7.jpg <式7>※訂正あり。補足参照
 さらに、1-2f/L1≒1とみなせば、次式8を得ます。
20130627s8.jpg <式8>※訂正あり。補足参照
 式8のFが、「F値」です。式8を見ると、投影面(フィルム)に投影される像の明るさ(光の強さ)は、F値の2乗に反比例することが分かります。すなわち、次のようになります。
 ・F値が大きいほど、投影される像が暗くなる。
 ・F値が小さいほど、投影される像が明るくなる。

 レンズを通る光量(エネルギ総量)は、レンズの直径Dが大きくなるほど多くなります(式2)。焦点距離fを変えても、レンズを通る光量は変化しません。しかし、焦点距離を増すと、投影される像のサイズ(面積)が大きくなります(式3)。このために、投影面の明るさ(エネルギ密度)は暗くなります。


★カメラを使った実験
 F値と明るさの関係を、手持ちのデジタルカメラ(オリンパス TG-630)を使って調べてみました。

 このカメラでは、ズーム倍率によって、F値が変わります。F値は、画面に表示されます。また、焦点距離fは、カタログスペックから、ワイド端(1倍)で5mm、テレ端(5倍)で25mmと分かっています。
 ズーム倍率を1倍~5倍まで変えて、同じ撮影距離L1≒1000mmから、白色の壁を撮影しました。撮影ごとに露出が変化しないように、次の設定を固定しました。
 ・ホワイトバランス :蛍光灯
 ・シャッタースピード:1/20秒
 ・ISO感度    :ISO400
 このカメラでは、シャッタースピードを直接設定できません。そこで、露出補正を調整して、シャッタースピードが一定になるようにしました。また、このカメラは、「2段ターレット絞り」です。使用したF値は、すべて絞り開放側の値です。

 ズーム倍率は、次の5パターンとしました。2~4倍の焦点距離fは、推定値です。レンズ有効径Dは、F値と焦点距離fから、D=f/Fで算出しました。
a)1倍:F値=3.9、f=5mm、D=1.3mm
b)2倍:F値=5.1、f=10mm、D=2.0mm
c)3倍:F値=4.4、f=15mm、D=3.4mm
d)4倍:F値=5.2、f=20mm、D=3.8mm
e)5倍:F値=5.9、f=25mm、D=4.2mm

 各パターンで撮影した写真を、以下に示します。
a)F値=3.9、f=5mm、D=1.3mm
20130627zoom1_f39.jpg
b)F値=5.1、f=10mm、D=2.0mm
20130627zoom2_f51.jpg
c)F値=4.4、f=15mm、D=3.4mm
20130627zoom3_f44.jpg
d)F値=5.2、f=20mm、D=3.8mm
20130627zoom4_f52.jpg
e)F値=5.9、f=25mm、D=4.2mm
20130627zoom5_f59.jpg

 上の写真から、F値によって明るさが違うことが見てとてます。定量的な評価をするために、画像編集ソフト(Irfanview)の「ヒストグラム」機能を使うことにしました。例えばパターンa)では、ヒストグラムは下図3のように表示されます。この例では、輝度192(maxを255とした値)あたりに、ピーク(最頻値)があります。
<図3>
20130627zoom1_hist.jpg
 各パターンの写真について、ヒストグラムの輝度ピーク値を読み取りました。F値とヒストグラムの輝度ピーク値の関係を、図4に示します。
<図4>F値と写真の輝度
20130627z11.jpg
 図4を見ると、F値が増すほど、写真の輝度ピーク値が減ることが分かります。ただ、輝度ピーク値の減少は、F値の0.65乗に反比例しています。式8によれば、明るさ(エネルギ密度)はF値の2乗に反比例するはずです。予想よりも、F値の影響が緩やかでした。
 F値の影響が小さい原因としては、写真の輝度が、エネルギ密度に比例しないためかもしれません。写真の輝度がエネルギ密度の1/3乗程度に比例するとすれば、2×1/3≒0.65となって、つじつまが合います。この点は、追って検証してみたい項目です。


★焦点距離、レンズ有効径と明るさの関係
 F値は、焦点距離fとレンズ径Dの比をとったものです。では、焦点距離fやレンズ径Dの単独で見ると、輝度ピーク値との関係はどうなるのか、確かめてみました。
 まず、焦点距離fと輝度ピーク値の関係です。F値の場合のような、明確な関係性は認められません。
<図5>焦点距離fと写真の輝度
20130627z12.jpg
 次に、レンズ有効径Dと輝度ピーク値の関係です。やはり、明確な相関は認められませんでした。
<図6>レンズ有効径Dと写真の輝度
20130627z13.jpg
 以上から、像の明るさを示す指標としては、焦点距離fやレンズ径Dではなく、F値を用いることが適切だと考えられます。


★まとめ:F値が小さいほど明るくなる理由
 F値は、レンズの焦点距離f[mm]を有効直径D[mm]で割った値です。
 F値は、レンズの明るさを示す指標にできます。F値が大きいほど、投影される像は暗くなります。反対に、F値が小さいほど、投影される像は明るくなります。

 F値が小さいほど像が明るくなる理由は、次のように説明できます。 
 ・レンズを通る光量(エネルギ総量)Qは、レンズの直径Dが大きいほど多い。Q∝D^2
 ・焦点距離fを増すと、投影される像のサイズ(面積)Sが大きくなる。S∝f^2
 ・像の明るさq(エネルギ密度)は、光量Q÷投影面積Sで表される。
 ・以上から、明るさq∝(D/f)^2=(1/F)^2となる。すなわち、F値が小さいほど像が明るい。

 もう少し噛み砕くと、
 ・レンズ直径D:取り込める光の総量を決める=エネルギの総量を決める。
 ・焦点距離 f:像のサイズを決める=エネルギの濃縮度合いを決める。
 直径Dが大きいほど多くの光を取り込み、焦点距離fが小さいほど光をギュッと濃縮し、明るい像を作ります。


(補足)2013/7/20
 式中にエラーを発見しました。
 式2)     誤:π/16 → 正:1/16
 式5、7、8) 誤:4  → 正:4π



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