今日のおじさん、なに食べました? (仮)

妻の料理と、おじさんの毎日の記録です。ほんのり工学テイスト。

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レンズ実験その6~焦点距離がズームと画角を決める
【今日の夕食】
 今日の妻と娘(2歳4ヶ月)は、会社の育休メンバーの会合らしく、横浜まで出かけてきました。娘は、出された料理を、ずっと食べていたそうです。
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★米飯

★シューマイ、肉まん
 横浜の点心屋「パオパオ」で買ったそうです。肉がギュッと詰まっていて、食べ応えがありました。お腹いっぱいになりました。

★4点盛りプレート
・きゅうり塩昆布
・中華惣菜
・トマト
・とうもろこし


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【今日のおじさん】 レンズ実験その6~焦点距離がズームと画角を決める
 4月に新しいカメラ(オリンパスTG-630、防水コンデジ)を買ってから、レンズに興味を持つようになりました。少し前から、いくつかのレンズ実験を記事にしています。
 ・虫メガネの曲率半径を測る    →こちら
 ・レンズに入る光と出る光の関係  →こちら
 ・虫メガネ&懐中電灯で投影機遊び →こちら
 ・カメラのボケやすさを決めるもの →こちら
 ・F値が小さいほど明るい理由   →こちら

 今回は、「焦点距離」と「ズーム倍率」、「画角」について書きます。


★焦点距離とズーム倍率
 今回も、レンズの基本式から始めます。図1のように、レンズから距離L1[mm]の撮影対象に、ピントが合っている状態を考えます。
<図1>
20130706z21.jpg
 ここで、
 L1:レンズから撮影対象までの距離[mm]
 L2:レンズから撮像素子(フィルム、CCD、CMOS)の距離[mm]
 h1:撮影対象の高さ[mm]
 h2:投影される像の高さ[mm]
 R :レンズの曲率半径[mm]
 M :撮像素子のサイズ[mm]

 ピントが合うためには、レンズの基本式である、次式1を満たす必要があります。
20130706s01.jpg <式1>
 ここで、f:焦点距離[mm]

 焦点距離fは、L1→∞としたときのL2です。レンズの曲率半径R[mm]と、レンズの相対屈折率nmを用いると、次式2で表せます。
20130706s12.jpg <式2>
 また、次式3も、レンズの基本式です。撮影対象のサイズh1[mm]と、投影される(フィルムに写る)像のサイズh2[mm]の関係です。
20130706s02.jpg <式3>
 式1と式3から、次式4を得ます。ここで、f<<L1として、微少量xに関する近似式(1+x)^n≒1+nx を用いています(n=-1)。(コンパクトカメラにおける実際の数値は、例えばf=5mm、L1=500mmなどで、f<<L1が妥当です。)
20130706s22.jpg <式4>
 式4において、1+f/L1≒1とみなせば、像のサイズh2が、焦点距離fに比例することが分かります。つまり、焦点距離が大きいレンズ=望遠レンズ(ズーム倍率の高いレンズ)、となります。
 同じ距離から撮った場合、撮影される像のサイズは、次のようになります。
 ・焦点距離が小さい=撮影対象が小さく写る。
 ・焦点距離が大きい=撮影対象が大きく写る。=望遠レンズ

 なお、カメラのカタログに記載された「光学ズーム倍率」は、焦点距離の変化率を示しているようです。例えば、私の所有するカメラ、オリンパスの「TG-630」では、次のように記載されています。
 焦点距離   :f=5~25mm …最小と最大の比=5倍
 光学ズーム倍率:5倍


★焦点距離と画角
 焦点距離が大きいと、撮影対象が大きく投影されます。しかし、一方で、撮影範囲が狭くなります。撮影可能な範囲を、「画角」と言います。
 下図2のように、撮影範囲は、撮像素子(フィルム、CCD、CMOSなど)のサイズM[mm]によって制限されます。撮像素子が無い部分の像は、写真として記録されません。画角2α[deg]の領域が、撮影可能な範囲です。
<図2>
20130706z22.jpg
 幾何学的な関係から、次式5が成り立ちます。
20130706s03.jpg <式5>
 画角2αは、次式6で表せます。
20130706s04.jpg <式6>
 式6と式1から、次式7を得ます。
20130706s05.jpg <式7>
 f<<L1として、1-f/L1≒1とみなせば、次式8のようになります。(コンパクトカメラでは、例えばf≒5mm、L1≒500mmなどで、f<<L1は妥当。)
20130706s06.jpg <式8>
 すなわち、撮像素子サイズM[mm]と焦点距離f[mm]の比によって、撮影可能な範囲「画角」が決まります。
 ・焦点距離が大きいほど、また、撮像素子が小さいほど、画角は小さくなる。
 ・焦点距離が小さいほど、また、撮像素子が大きいほど、画角は大きくなる。=広角レンズ


★デジタルカメラの画角を調べる
 簡単な実験で、デジタルカメラの画角を調べてみます。使ったデジタルカメラは、オリンパスの防水コンデジ「TG-630」です。
 下の写真のように、壁の幅方向と直角方向に、それぞれメジャーを置きます。そして、壁からカメラまでの距離L1[mm]と、カメラに写る範囲W[mm]の関係を調べました。
20130706z2.jpg
 下の写真は、カメラを壁からL1=500mmの距離に置いたときの撮影範囲です。カメラのズーム倍率は、1倍です。画像からメジャーの目盛りを読み取ると、撮影範囲W=617mmでした。
20130706z3.jpg
 カメラのズーム倍率を、次の3種類に変えて、同じ実験をしました。
a)1倍 焦点距離f=5mm
b)2倍 焦点距離f=10mm
c)5倍 焦点距離f=25mm

 実験結果です。L1とWの関係は、下図3のようになりました。L1とWが、比例関係にあることが分かります。
<図3>
20130706z31.jpg
 画角2α[deg]は、次式9で計算できます。
20130706s11.jpg <式9>
 実験結果から、式9の(W/2)/L1は、次の通りでした。
a)1倍 (W/2)/L1=0.613
b)2倍 (W/2)/L1=0.300
c)5倍 (W/2)/L1=0.127
 式9で計算すると、画角2αは、次となります。
a)1倍 画角2α=63°
b)2倍 画角2α=33°
c)5倍 画角2α=14°
 ズーム倍率を上げるほど(焦点距離を大きくするほど)、画角が狭くなることが分かります。また、画角は、ズーム倍率にほぼ反比例します。たとえば、ズーム2倍では、ズーム1倍の約1/2の画角になります。


★「35mmフィルム換算値」とは
 カメラのカタログを見ると、焦点距離は、実際の値と、「35mmフィルム換算値(35mm判換算値)」が、併記されている場合が多いようです。これは、過去の35mmフィルム(普通のフィルム)の名残と思われます。すなわち、35mmフィルムの時代には、画角の計算式(式8)において、機種によらず撮像素子(フィルム)のサイズMが一定でした(特殊サイズのフィルムを除く)。このため、焦点距離の数字を、画角と一対一で対応させられました。したがって、実際の焦点距離だけを示せば十分だったと想像されます。
 しかし、現在は、事情が違います。デジタルカメラは、機種によって、撮像素子のサイズが異なります(幅5mm~40mm程度のものが存在[1])。このため、焦点距離の実際の値だけでは、画角を知ることができません。このために、35mmフィルム換算の焦点距離が表示されるようになったと推察されます。
[1]Wikipedia;「CCDイメージセンサ」の項
http://ja.wikipedia.org/wiki/CCD%E3%82%A4%E3%83%A1%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%82%B5
 35mmフィルムのサイズを、実際に測ってみました。次の通りでした。縦横比は、3:2です。
 ・幅  :36mm
 ・高さ :24mm
 ・対角線:43mm
20130706z1.jpg
 焦点距離f[mm]、撮像素子サイズM[mm]のカメラの画角を2α[deg]とします。式8から、画素サイズM’[mm]で、同じ画角を得るための焦点距離f’[mm]は、次式10となります。
20130706s31.jpg<式10>
 先の実験で使ったデジタルカメラTG-630では、撮像素子サイズは「1/2.3型」とあります。これは、対角線の長さが7.81mmのサイズだそうです。(1/2.3インチ=11.0mmですが、そうではないのです。Wikipediaによると、CCDやCMOSが一般化する以前の「撮像管」の呼び管径に対応しているそうです。)また、縦横比は、3:2のようです(素子によって違うかもしれません)。
[2]ソニー;CX-PAL, vol.94 ,(2012)
http://www.sony.co.jp/Products/SC-HP/cxpal/vol94/imx117/
 式10にしたがって、TG-630の焦点距離fを、35mmフィルム換算の焦点距離f’に換算してみます。式10のM’/M=43mm÷7.81mm=5.5(対角方向の比)です。
a)ズーム1倍:f=5mm → f’= 27.5mm …カタログ記載f'=28mm
b)ズーム2倍:f=10mm → f’= 55 mm
c)ズーム5倍:f=25mm → f’=137.5mm …カタログ記載f'=140mm
 式10による換算値は、カタログ記載の換算値と、よく一致しました。

 式8を用いて、35mmフィルム換算の焦点距離f’と、画角2αの関係(幅方向)を求めました。M’=36mm(幅方向)です。結果は、下図4の通りです。
<図4>
・焦点距離 ~200mm
20130706z51.jpg
・焦点距離 200mm~
20130706z52.jpg
 35mmフィルム換算の焦点距離f’は、カタログに記載されています。そこで、式8または上図4を用いれば、手持ちのデジカメの画角が分かります。私のデジカメTG-630では、次のようになります。
a)ズーム1倍:f’= 27.5mm、画角2α=66° …実験63°
b)ズーム2倍:f’= 55 mm、画角2α=36° …実験33°
c)ズーム5倍:f’=137.5mm、画角2α=15° …実験14°
 計算値と実験値は、よく一致しています。


★アスペクト比と画角
 このデジタルカメラTG-630では、撮影画像のアスペクト比(縦横比)を選べます。次の4通りが選択可能です。
a)4:3
b)16:9
c)3:2
d)1:1

a)4:3 の撮影です。これが標準と考えます。画像サイズは、1920×1440ピクセル(3Mサイズの場合)。
20130706z11asp43.jpg
b)16:9 の場合です。左右の撮影範囲はa)と同じですが、上下がトリミングされて、一部が写らなくなりました。画像サイズは、1920×1080ピクセル。
20130706z11asp169.jpg
c)3:2 の場合です。左右の撮影範囲はa)と同じですが、やはり上下がトリミングされます。b)よりは、トリミングの量が少ないです。画像サイズは、1920×1240ピクセル。
20130706z11asp32.jpg
d)1:1 の場合です。今度は、左右の撮影範囲がトリミングされました。上下は、a)と同じです。画像サイズは、1440×1440ピクセルです。
20130706z11asp11.jpg
 以上のように、アスペクト比4:3の場合に、最も広い範囲を撮影できることが分かりました。撮像素子のアスペクト比は3:2なのかもしれませんが、周辺回路の設計等が、4:3を基準にしているのかもしれません。


★まとめ
 カメラの「焦点距離」と「ズーム倍率」、「画角」について調べました。結果をまとめます。
・焦点距離が大きいほど、像が大きくなります。=望遠レンズ。
・焦点距離が小さいと、画角が大きくなります。=広角レンズ。
・ズームレンズは、焦点距離が可変のレンズです。ズーム倍率は、焦点距離の最大値と最小値の比です。
・画角は、焦点距離と撮像素子サイズの比で決まります。異なった撮像素子サイズのカメラで、画角を比較するためには、「35mmフィルム換算」の焦点距離を用いる必要があります。

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