今日のおじさん、なに食べました? (仮)

妻の料理と、おじさんの毎日の記録です。ほんのり工学テイスト。

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レンズ実験8~露出の3要素と画面の明るさ(輝度)
【今日の夕食】
 今日は、娘(2歳5か月)と、私の実家に行きました。母は不在で、父だけでした。娘が砂遊びで汚れたので、風呂を借りて、洗ってから帰ってきました。
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★冷やし中華風
 中野食品の「ごまだれ冷やし中華」です。私は、酢が苦手なので、自前のつけつゆを作って食べました。妻は、添付のゴマだれがおいしいと言っていました。

★宗家キムチ

★とうもろこし


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【今日のおじさん】 レンズ実験8~露出の3要素と画面の明るさ(輝度)
 4月に新しいカメラ(オリンパスTG-630、防水コンデジ)を買ってから、レンズに興味を持つようになりました。少し前から、いくつかのレンズ実験を記事にしています。
 ・虫メガネの曲率半径を測る    →こちら
 ・レンズに入る光と出る光の関係  →こちら
 ・虫メガネ&懐中電灯で投影機遊び →こちら
 ・カメラのボケやすさを決めるもの →こちら
 ・F値が小さいほど明るい理由   →こちら
 ・焦点距離がズームと画角を決める →こちら
 ・カメラの「絞り」とボケやすさ  →こちら


 今回は、撮影される画像の明るさを決める「露出」について書きます。


★「露出」の3要素と画面の明るさ
 下図1のように、光源(被写体)、レンズ、投影面(フィルム)で構成されるセットアップを考えます。光源の直径をd1[mm]とします。レンズから光源までの距離をL1[mm]、レンズから投影面までの距離をL2[mm]とします。投影面には、直径d2[mm]の像が投影されます。(このセットアップは、以前行ったレンズ実験(→こちら)と同じ構成です。)
<図1>
20130713z1.jpg
 このセットアップに対して、投影面の像の明るさq2[W/mm^2]は、次式1になることを導きました(→こちらの記事)。
20130713s1.jpg <式1>
 ここで、Q0:光源の光量(出力、エネルギ)[W]

 式1のFは、レンズの「F値」です。次式2で定義されます。
20130713s2.jpg <式2>
 ここで、f:焦点距離[mm]
     D:レンズ直径[mm]

 デジタルカメラの、投影面の撮像素子(CCD,CMOSイメージセンサ、など)を考えます。撮像素子のサイズ(幅または高さ方向)をM[mm]、画素の並び数(幅または高さ方向)をn[個]とします。そうすると、画素1個あたりの面積は、(M/n)^2 [mm^2]です。例えば、1/2.33型(対角長7.81mm、幅6.25mm)の横画素数3968個(画素総数1200万個)の場合には、M/n=6.25/3968=0.00158mm=1.58μmです。
 また、シャッタースピードをts[s]とします。例えば、シャッタースピード1/8の場合、ts=1/8=0.125[s]です。
 式2から、シャッターを切ったときに画素1個が受ける光エネルギ[J]は、次式となります。
20130713s3.jpg <式3>
 撮像素子によって、このエネルギが、出力値に変換されます。例えばCCDの場合は、光エネルギ[J]→電荷量[c]→電圧[V]、というように変換されます。(電圧[V]でなく、電流[A]や直接デジタル量[bit]に変換される場合もあるかもしれません。詳しいことは、よく知りません。)出力がVout[V]の場合、この変換は、係数K1[V/J]を使って、次のように表されます。(実際は線形ではないかもしれませんが、簡単のため、線形としています。)
20130713s4.jpg <式4>
 そして、記録される画像ファイルの、当該ピクセルの輝度をpとします。輝度は、通常8ビット(0~255の範囲をとる)のデジタル数値です。pは、次式で表されるはずです。(これも、線形な関係とは限らないのですが、線形でモデル化します。)
20130713s5.jpg <式5>
 ここで、K2 :係数[輝度/V]
     KISO:ISO感度
 ISO感度は、100,200,400,800,...、という値をとります。大きいほど、感度が高いです。すなわち、同じ光エネルギに対して、画像の輝度が明るくなります。

 式3と式5から、次式6を得ます。
20130713s6.jpg <式6>
 式6において、K1、K2、M/nは、カメラの仕様で決まる値です。また、Q0,d1は、被写体の素性で決まります。したがって、撮影者が自分で操作できるのは、次の3つです。これら3つを合わせて「露出」と呼びます。
 ・F :F値(絞り値)
 ・ts:シャッタースピード
 ・KISO:ISO感度
 式6から、上の3つの値と、得られる画像の輝度は、次式の関係があります。ここで、A:比例定数です。
20130713s7.jpg <式7>
 この式7のKISO×ts/F^2を、「露出インデックス」と呼ぶことにします。(※「露出インデックス」は、当方の独自定義です。)

 露出の3要素を、適宜調整することで、イメージ通りの明るさの写真を得ることができます。式7から、次の3つの操作は、画面の明るさを決める上では、同等であると考えられます。
 ・F値を√2倍(≒1.4倍)する。(=絞りを1段絞る)
 ・シャッタースピードを1/2にする。(=シャッタースピードを1段速める)
 ・ISO感度を1/2にする。(=ISO感度を1段下げる)
 いずれの操作を行っても、画面の明るさ(輝度)は1/2になります。一般的なカメラでは、F値が約1.4倍キザミ、シャッタースピードとISO感度が2倍キザミになっています。これらを1段変更すると、明るさを倍または半分にできます。


★デジカメ実験:露出と明るさの関係を調べる
 理屈が分かったので、実験をしてみます。デジタルカメラを使って、露出の3要素を変更したときの、撮影画像の明るさを調べます。
 撮影対象は、下のような「グレーカード(18%グレー標準反射板)」を用いました。これは、露出設定やホワイトバランスの基準として使用するカードのようです。ヨドバシドットコムで購入、約400円(送料込み)でした。サイズはA3版です。
20130713z11.jpg
 実験は、次の手順で行いました。
1)基準設定で、グレーカードを用いて、マニュアルホワイトバランスをとる。
2)露出の設定を変更して、グレーカードを撮影する。
3)得られた画像の中央付近(約80×60)を切り出す。
4)画像閲覧ソフト(Irfanview)の「ヒストグラム」機能で、輝度の最頻値(ピーク値)を読み取る。

 使用デジタルカメラ:オリンパス TG-630(防水コンデジ)


 基準設定は、以下とします。
 ・グレーカードからの距離:約500mm
 ・ズーム倍率    :1倍
 ・F値       :F=3.9
 ・シャッタースピード:ts=1/15[s]=0.0666[s]
 ・ISO感度      :KISO=400
 
 露出の設定は、以下の組み合わせを用いました。
 ・F=3.9(ズーム1.0倍)、KISO= 400、ts=1/4,1/8,1/15,1/30,1/60[s]
 ・F=3.9(ズーム1.0倍)、KISO=1600、ts=1/15,1/30,1/60,1/125,1/250[s]
 ・F=5.9(ズーム2.8倍)、KISO= 400、ts=1/2,1/4,1/8,1/15,1/30[s]
 ・F=5.9(ズーム2.8倍)、KISO=1600、ts=1/8,1/13,1/30,1/60,1/125[s]
※このデジカメでは、F値とシャッタースピードのマニュアル設定ができません。そこで、F値はズームの変更で、シャッタースピードはEVシフト機能で、それぞれ対処しました。


★実験結果:露出と画像の明るさの関係
 まず、撮影した画像の例を示します。F=3.9(ズーム1.0倍)、KISO= 400の場合。左から、ts=1/60,1/15,1/4[s]です。シャッタースピードが短いほど、暗い画像になります。
20130713z23.jpg20130713z22.jpg20130713z21.jpg
 上の写真に対応するヒストグラムが、下図です。グレースケール輝度の最頻値(ピーク)は、それぞれ45,141,246でした。輝度は8ビット数値のため、255が最大値です。
20130713z12.jpg

 横軸をシャッタースピード[s]、縦軸を輝度ピークとして、グラフ化しました(図2)。
<図2>
20130713z3.jpg
 上図2より、次のことがわかります。
 ・同じF値では、ISO感度が高いほど、同一シャッタースピードでの輝度が明るくなる。
 ・同じISO感度では、F値が小さいほど、同一シャッタースピードでの輝度が明るくなる。

 また、「露出インデックス」(式7のKISO×ts/F^2)を横軸にとると、下図3のようになります。
<図3>
20130713z2.jpg
 いずれのF値とISO感度の場合でも、結果が1本の線上に乗っています。すなわち、露出インデックスKISO×ts/F^2を用いることで、露出の3要素(F値、シャッタースピード、ISO感度)の輝度への影響を、一括して説明できます。
 露出インデックスが小さい(露出インデックスが1.5程度まで、輝度が150程度まで)場合には、露出インデックスKISO×ts/F^2と輝度は、ほぼ比例関係にあります。これは、式7の通りです。比例定数Aは、A≒100程度です。
 しかし、露出インデックスが大きくなると、露出インデックスの変化のわりに、輝度は増大しなくなります。すなわち、式7のような線形の関係ではありません。輝度が255になると、それ以上明るくできない(飽和する)ため、明るさが強いときには輝度を押さえ気味にしているのかもしれません。あるいは、このような特性が、人間の目に近いのかもしれません。 または、単純に撮像素子の特性(貯められる電荷の限界)かもしれません。
 ちなみに、図3の青線のように、実験結果をexpカーブで近似すると、次のようになりました。典型的な「飽和曲線」です。
  輝度=255×{1-exp(-0.5×露出インデックス)}
 
 以上の結果をまとめます。露出インデックスを、KISO×ts/F^2 と定義すると、
・暗い部分 (輝度≦150)では、露出インデックスと輝度は、ほぼ比例する。
・明るい部分(輝度>150)では、露出インデックスのわりに、輝度は高くならない。

 つまり、暗い部分は露出調整の効果が素直に出ますが、明るい部分は露出調整による変化が出にくいと考えられます。(注:これは、あくまで入力する光のエネルギと画像データの輝度の関係です。実用的には、画像データの輝度と人間の目の感じ方、画像データの輝度とプリントされた写真の明るさの関係、なども考慮しないとなりません。)


★まとめ
 露出の3要素(F値、シャッタースピード、ISO感度)と、画面の明るさの関係を調べました。まとめます。

 次の3つの操作は、いずれも撮像素子の受ける光のエネルギの量を1/2にする操作になる。
 ・F値を√2倍(≒1.4倍)する。(=絞りを1段絞る)
 ・シャッタースピードを1/2にする。(=シャッタースピードを1段速める)
 ・ISO感度を1/2にする。(=ISO感度を1段下げる)
 
 実際のカメラでは、入り込む光のエネルギが大きくなるにつれて、画面の明るさ(輝度)が上がりにくくなる。このため、
 ・暗い部分 (目安:輝度≦150)は、露出調整の効果が素直に出る。
 ・明るい部分(目安:輝度>150)は、露出調整しても変化が出にくい。


(補足)2013/7/14
 この記事を書いた後で、露出を表す「EV値」を知りました。EV値は、この記事の「露出インデックス」を対数で示したものです。EV値を使うと、今回の実験データを、もっとうまく整理できるかもしれません。


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