今日のおじさん、なに食べました? (仮)

妻の料理と、おじさんの毎日の記録です。ほんのり工学テイスト。

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レンズ実験9~撮像素子サイズとノイズ(SN比)
【今日の夕食】
 今日は、家の掃除をしました。網戸をシャークモップで、ベランダの床をデッキブラシで、掃除しました。久しぶりの掃除だったので、とてもすっきりしました。
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★うな丼
 鹿児島産うなぎ、2人前で2000円だそうです。ふっくらと柔らかくて、とてもおいしかったです。うなぎは、妻の好物です。

★みそ汁、ニラ

★4点盛りプレート
・かぼちゃ煮(実家からの頂き物)
・冷奴
・キムチ
・きゅうりおかか

★とうもろこし


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【今日のおじさん】レンズ実験9~撮像素子サイズとノイズ(SN比)
 4月に新しいカメラ(オリンパスTG-630、防水コンデジ)を買ってから、レンズに興味を持つようになりました。少し前から、いくつかのレンズ実験を記事にしています。

 今回は、「ノイズ」について、検討してみます。(今回は実験なしです。)


★撮像素子からの出力(電圧と輝度)
 下図1のように、光源(被写体)、レンズ、投影面(CCDやCMOSイメージセンサなど)で構成されるセットアップを考えます。光源の直径をd1[mm]とします。レンズから光源までの距離をL1[mm]、レンズから投影面までの距離をL2[mm]とします。投影面には、直径d2[mm]の像が投影されます。(このセットアップは、以前行ったレンズ実験(→こちら)と同じ構成です。)
<図1>
20130713z1.jpg
 これまでの検討から、投影面にできる像の明るさq2[W/mm^2]は、次式1となります。(→こちらの記事)。
20130714s01.jpg <式1>
 ・Q0:光源の出力[W]
 ・d1:光源の直径[mm]
 ・F :レンズのF値

 上式1のFはレンズの「F値」で、次式で定義されます。
20130714s02.jpg <式2>
 ・f:レンズの焦点距離[mm]
 ・D:レンズの有効直径(絞り後の直径)[mm]

 撮影したときに、撮像素子1個が受ける光のエネルギe2[J]は、次式3となります。
20130714s03.jpg <式3>
 ・M:撮像素子のサイズ(幅方向または高さ方向)[mm]
 ・n:撮像素子の画素の並び数(幅方向または高さ方向)[個]
 ・ts:シャッタースピード[s]

 光のエネルギは、撮像素子に電荷に変換された後、周辺の回路によって、電圧などのアナログ量に変換されます。電圧Vout[V]に変換する場合、次式4のようになります。(簡単のため、線形変換を仮定)
20130714s04.jpg <式4>
 ・K1:変換係数[V/J](ゲイン)

 式4の電圧Vout[V]は、AD変換によって、デジタル量である画素の輝度に変換されます。次式5のような変換です。(簡単のため、線形変換を仮定。p=K2×KISO×Vout。)
20130714s05.jpg <式5>
 ・K2 :変換係数[輝度/V]
 ・KISO:ISO感度


★ノイズの輝度への影響
 上式4~5は、理想的な、ノイズのない状態を仮定しています。実際の信号では、ノイズが存在します。ノイズは、光のエネルギ→電荷→電圧→輝度(デジタル量)と変換する、各過程で乗ります。
 まず、光のエネルギを出力電圧Vout[V]に変換する過程で、ノイズが乗って、Δ1[J]だけ光のエネルギに誤差が生じるとします。これによって、電圧にΔVout[V]の誤差が生じるとすると、次式6が成り立ちます。
20130714s11.jpg <式6>
 そして、電圧Vout[V]を輝度に変換する過程で、ノイズが乗って、Δ2[V]だけ電圧に誤差が生じるとします。これによって、輝度にΔp[輝度]の誤差が生じるとします。次式7が成り立ちます。
20130714s12.jpg <式7>
 式6と式7から、誤差が乗った輝度p+Δpは、次式8となります。
20130714s13.jpg <式8>


★SN比
 式8の、1項目が得たい(有効な)信号、2項目と3項目はノイズによる誤差です。2項目、3項目のノイズの大きさを、SN比(Signal-noise ratio)で示してみます。
 まず、2項目の誤差(光エネルギ→電圧過程での誤差)のSN比は、1項目÷2項目で、次式9となります。
20130714s21.jpg <式9>
 次に、3項目の誤差(電圧→輝度過程での誤差)のSN比は、1項目÷3項目で、次式10となります。
20130714s22.jpg <式10>
 SN比が大きいほど、信号が大きく、ノイズが小さいことを示します。SN比が高いと、ノイズの影響が小さく、光エネルギの濃淡を輝度の濃淡に正確に変換できます。いわゆる「高画質」のためには、SN比が高いことが望ましいです。
 

★ダイナミックレンジ
 ノイズは、ひとまず置いておいて、「ダイナミックレンジ」について考えます。ダイナミックレンジとは、再現できる光の強さの範囲です。ダイナミックレンジが小さいと、暗い部分で「黒つぶれ」、明るい部分で「白とび」が発生しやすいです。逆に、ダイナミックレンジが大きいと、暗い部分から明るい部分まで、光エネルギの濃淡を輝度の濃淡として正確に再現できます。
 ダイナミックレンジを決めるひとつの要因が、撮像素子(周辺回路を含む)によって、どの程度の範囲の強さの光までを再現できるかです。この範囲は、出力電圧Voutの最大値によって制限されます。すなわち、式4の出力電圧Vout[V]は、増幅回路の電源電圧等によって、最大値がVmax[V]に制限されます。
 撮影される像の明るさは、単位面積あたり・単位時間あたりのエネルギq2[W/mm^2]で表せます。シャッタースピードがts[s]のときには、撮像素子が単位面積あたり受けるエネルギは、q2×ts[J/mm^2]となります。この値が大きいほど、明るい像が記録されます。しかし、式4で変換された電圧Voutは、Vmaxを超えることができません。すなわち、式4のVout>Vmaxとなるようなq2×tsについては、明るさを十分に再現できません。いわゆる、「白とび」が生じると考えられます。
 Vout=Vmaxとなるときのq2×tsを、(q2×ts)maxとします。式3と式4から、次式11が成り立ちます。
20130714s31.jpg <式11>
 したがって、0~(q2×ts)maxまでのエネルギ[J/mm^2]の明るさを再現するためには、変換係数(ゲイン)K1は、次式を満たす必要があります。
20130714s32.jpg <式12>
 ゲインK1を小さくすれば、ダイナミックレンジを大きくとれます。しかし、同じ光エネルギに対する出力電圧が小さくなり、ノイズの影響を受けやすくなります(式10のVoutが小さくなる)。一方、K1を大きくすると、出力電圧を大きくできるので、ノイズの影響が減少します。ところが、K1を大きくすると、ダイナミックレンジは小さくなってしまいます。このように、ゲインK1は、ダイナミックレンジと、ノイズの影響のトレードオフから、妥当な値を選ぶ必要があります。


★コンデジとデジイチのノイズ比較
 コンパクトカメラと、デジタル一眼レフで、SN比を比べてみます。両者のスペックを、以下とします。

・コンパクトカメラ(コンデジ)
 ・撮像素子サイズ:MC[mm]
 ・撮像素子の出力電圧の最大値:Vmax-C[V]

・デジタル一眼レフ
 ・撮像素子サイズ:MF[mm]
 ・撮像素子の出力電圧の最大値:Vmax-F[V]

 以下は、両者で同一とします。
 ・F値    :F
 ・画素の並び数:n[個]
 ・光エネルギ→電圧過程でのノイズ量:Δ1[J]
 ・電圧→輝度過程でのノイズ量   :Δ2[V]
 ・撮影条件  :シャッタースピードts[s]、ISO感度KISO
 ・被写体の素性:光源の出力Q0[W]、光源の直径d1[mm]
 ・光源からのレンズの距離L1[mm]、35mmフィルム換算焦点距離f'[mm]


(1)光エネルギ→電圧過程でのノイズ(Δ1に対応する輝度の誤差)
 まず、コンパクトカメラです。式3から、撮像素子1個が受ける光のエネルギe2-C[J]は、次式13となります。
20130714s41.jpg <式13>
 Δ1(または電圧誤差ΔVout)に対応する輝度の誤差のSN比は、式9から、次式14となります。
20130714s42.jpg <式14>
 デジタル一眼レフでは、撮像素子1個が受ける光のエネルギe2-F[J]は、次式15です。
20130714s43.jpg <式15>
 そして、Δ1に対応する輝度の誤差のSN比は、次式16です。
20130714s44.jpg <式16>
 コンパクトカメラとデジタル一眼レフの、SN比の比は、次式17となります。
20130714s45.jpg <式17>
 式17から、SN比の比は、撮像素子のサイズM[mm]の比の2乗に比例することが分かります。つまり、撮像素子のサイズを2倍(面積を4倍)にすれば、SN比は4倍になります。すなわち、信号に対するノイズの大きさを、1/4にできます。したがって、撮像素子のサイズを増せば、ノイズの少ない画像を得やすいと想像できます。
 なお、式16から、ノイズに関しては、撮像素子のサイズMを2倍にするのと、レンズのF値を1/2にする(明るいレンズを使う)ので、同等の効果が得られることが分かります。


(2)電圧→輝度過程でのノイズ(Δ2に対応する輝度の誤差)
 まず、コンパクトカメラから。式4から、撮像素子の出力電圧Vout-Cは、次式18です。
20130714s51.jpg <式18>
 Δ2に対応する輝度の誤差のSN比は、式10から、次式19となります。
20130714s52.jpg <式19>
 一方、デジタル一眼レフでは、出力電圧は次式20となります。
20130714s53.jpg <式20>
 Δ2に対応する輝度の誤差のSN比は、次式21です。
20130714s54.jpg <式21>
 コンパクトカメラとデジタル一眼レフの、SN比の比は、次式22となります。
20130714s55.jpg <式22>

 式22から、SN比の比は、Vout-FとVou-Cの比になります。さらに詳細に検討を進めるには、ダイナミックレンジを考える必要があります。
 コンパクトカメラで対応できる最大明るさ(ダイナミックレンジ)を、(q2×ts)max-C[J/mm^2]とします。すると、光エネルギ→電圧の変換係数K1C[V/J]は、次式23となります。
20130714s62.jpg <式23>
 デジタル一眼レフのダイナミックレンジを、(q2×ts)max-F[J/mm^2]とすると、光エネルギ→電圧の変換係数K1F[V/J]は、次式24です。
20130714s61.jpg <式24>
 両者の変換係数K1FとK1Cの比は、次式25です。
20130714s63.jpg <式25>
 式22と式25から、コンパクトカメラとデジタル一眼レフのSN比の比は、次式26で表せます。
20130714s64.jpg <式26>
 最大電圧Vmaxとダイナミックレンジ(q2×ts)maxの決め方は、カメラの設計次第です。ここでは、次の2通りの場合で、コンパクトカメラとデジタル一眼レフのSN比の比を求めてみます。
a)ダイナミックレンジが同じ場合
b)Δ2に対応するSN比が同じ場合

 a)ダイナミックレンジが同じ((q2×ts)max-F=(q2×ts)max-C)場合には、式26は次式27になります。
20130714s65.jpg <式27>
 式27から、ダイナミックレンジが同じであれば、SN比はVmaxの比と等しいことが分かります。すなわち、増幅回路の電源電圧を高電圧にするほど、SN比を高めやすくなります。

 一方、b)SN比が同じ場合を考えます。式26で、右辺=1とおけます。すなわち、
20130714s66.jpg <式28>
 式28から、次式29を得ます。
20130714s67.jpg <式29>
 すなわち、SN比を保って最大電圧を増せば、ダイナミックレンジを増すことができます。例えば最大電圧を2倍にすると、ダイナミックレンジを2倍にできます。

 実際には、a)とb)の中間的な設計をとることができます。例えば、最大電圧を2倍にしておきながら、ダイナミックレンジは1.4倍に抑えておけば、SN比は式26より、2÷1.4=1.4倍にできます。すなわち、SN比の向上と、ダイナミックレンジの向上を、同時に得られます。


★コンデジの画質が劣る理由
 上の式に、コンパクトカメラとデジタル一眼レフにおける実際の数値を入れて、計算してみます。以下の数値を用います。

・コンパクトカメラ(コンデジ)
 ・撮像素子サイズ:MC=6.25[mm](1/2.33型、幅方向寸法)
 ・撮像素子の出力電圧の最大値:Vmax-C=3.7[V]

・デジタル一眼レフ
 ・撮像素子サイズ:MF=36[mm](フルサイズ、幅方向寸法)
 ・撮像素子の出力電圧の最大値:Vmax-F=7.0[V]

 「出力電圧の最大値」は、詳細が分からないので、ここでは電池電圧としました。コンデジの値はオリンパスTG-630の取扱説明書から、デジイチの値はニコンHP記載のデジタルカメラ「D800」(FXフォーマット)の使用電池「EN-EL15」の値です。

 まず、光エネルギ→電圧でのSN比の比を計算します。式17です。
  SN1-F/SN1-C=(MF/MC)^2=(36mm/6.25mm)^2=5.76^2=33.2
 つまり、デジタル一眼レフのSN比は、コンパクトカメラの約30倍です。つまり、同じ信号出力の場合に、コンパクトカメラでは、輝度のノイズ量が約30倍ある、ということになります。このようなノイズの差は、暗い場面での写真をとるときに、顕著になりそうです。「コンデジの画質が劣る」主な理由は、この撮像素子サイズの違いにありそうです。

 次に、電圧→輝度でのSN比の比です。まず、式27の、ダイナミックレンジが同じ場合。SN比は、約2倍に向上できます。
  SN2-F/SN2-C=Vmax-F/Vmax-C=7.0/3.7=1.9
 一方、SN比を保つ場合には、ダイナミックレンジを増せます。ダイナミックレンジの比は、式29です。
  (q2ts)max-F/(q2ts)max-C=Vmax-F/Vmax-C=7.0/3.7=1.9
 最大電圧Vmaxを増すことで、SN比を向上するか、ダイナミックレンジを向上するか、適宜選ぶことができます。最大電圧が高いほど、設計にゆとりが持てます。


★まとめ
 デジタルカメラのノイズとダイナミックレンジについて、考察しました。結果をまとめます。

(1)光エネルギ→電圧変換におけるノイズについて、
 ・撮像素子のサイズを増すと、SN比を大幅に改善できる。

(2)電圧→輝度の変換におけるノイズについて、
 ・出力電圧の最大値Vmaxを増すと、
  ・ダイナミックレンジを減らさずに、SN比を向上できる。
  ・または、SN比を悪化させずに、ダイナミックレンジを増せる。
 ・撮像素子のサイズは、SN比に関係しない。



(補足)2013/7/16
 ダイナミックレンジの説明は、少しおかしいかもしれません。輝度の範囲が0-255(8bit)で固定なので、ダイナミックレンジが広くても、画像として再現できる明るさは制限されてしまいそうです。ダイナミックレンジとういうよりも、コントラストの調整、といったイメージかもしれません。


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